Hình như yêu cầu của đề bài sai.

đề sai thì phải

                                                                BÀI LÀM

a, xét tứ giác ADOE có:

góc A= góc E=góc D=90^O

mà ta thấy: OE=OD( bán kính = nhau)

vậy tứ giác ADOE là hình vuông (dhnb)

a) Dễ thấy tứ giác AEOD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OD = OE ( cùng bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Nên tứ giác AEOD là hình vuông.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống BC.

Có SΔABC=SΔOAB+SΔOBC+SΔOAC
                     =12 OD.AB+12 OE.AC+12 OH.BC
                      =12 r.(AB+AC+BC)
                      =12 pr ($p$ là  chu vi của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp).
 
c) Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: BC=√AB2+AC2=10(cm).
Diện tích tam giác ABC là: 12 AB.AC=12 .6.8=24(cm2).
Chu vi tam giác ABC là: 6+8+10=24(cm).
Suy ra: 24=12 .24.r⇔r=2(cm).

a) Dễ thấy tứ giác AEOD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
Mà OD = OE ( cùng bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC).
Nên tứ giác AEOD là hình vuông.
b) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O xuống BC.

Có S_{\Delta ABC}=S_{\Delta OAB}+S_{\Delta OBC}+S_{\Delta OAC}SΔABC​=SΔOAB​+SΔOBC​+SΔOAC​
                     =\dfrac{1}{2}OD.AB+\dfrac{1}{2}OE.AC+\dfrac{1}{2}OH.BC=21​OD.AB+21​OE.AC+21​OH.BC
                      =\dfrac{1}{2}r.\left(AB+AC+BC\right)=21​r.(AB+AC+BC)
                      =\dfrac{1}{2}pr=21​pr ($p$ là  chu vi của tam giác $ABC$, $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp).
 
c) Áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=10\left(cm\right)BC=AB2+AC2​=10(cm).
Diện tích tam giác ABC là: \dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)21​AB.AC=21​.6.8=24(cm2).
Chu vi tam giác ABC là: $6+8+10=24\left(cm\right)$.
Suy ra: 24=\dfrac{1}{2}.24.r\Leftrightarrow r=2\left(cm\right)24=21​.24.r⇔r=2(cm).

Hình như câu b chưa rõ lắm, tam giác ABC cân tại đâu?

a) Dễ thấy tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn đường kính MN.

b) Ta có tứ giác AMNC nội tiếp nên \(\angle BCM=\angle BAN\). Suy ra \(\Delta BCM\sim\Delta BAN\left(g.g\right)\).

Từ đó \(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{CM}{AN}\).

c) Gọi P' là trung điểm của MC.

Khi đó P' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNC.

Ta có \(\widehat{AP'N}=2\widehat{ACN}=180^o-2\widehat{ABC}=180^o-\widehat{MON}\). Suy ra tứ giác AONP' nội tiếp.

Từ đó \(P'\equiv P\). Ta có \(OP=OP'=\dfrac{BC}{2}\) (đường trung bình trong tam giác BMC) không đổi khi M di động trên cạnh AB.

a)Vì BM là đường kính \(\Rightarrow\angle MNB=90\) mà \(\angle CAM=90\Rightarrow \) CAMN nội tiếp

b) Vì CAMN nội tiếp \(\Rightarrow \angle MCN=\angle MAN\)

Xét \(\Delta BMC\) và \(\Delta BNA\):Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle BCM=\angle BAN\\\angle CBAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{BM}{BN}=\dfrac{MC}{NA}\)

c) gọi P' là trung điểm CM \(\Rightarrow\) P' là tâm của (AMNC)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle P'AM=\angle P'MA\\\angle P'NO=\angle P'NM+\angle MNO=\angle P'MN+\angle OMN\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \angle P'AM+\angle P'NO=\angle P'MA+\angle P'MN+\angle OMN=180\)

\(\Rightarrow \) P'NOA nội tiếp \(\Rightarrow P\equiv P'\Rightarrow\) P là trung điểm CM

Xét \(\Delta CMB:\)Ta có: P,O lần lượt là trung điểm CM,MB

\(\Rightarrow \) PO là đường trung bình \(\Delta CMB\Rightarrow PO=\dfrac{1}{2}BC\) cố định